蝴蝶定理的证明过程(蝴蝶定理的证明)

缪曼静
导读 大家好,小小发现蝴蝶定理的证明过程,蝴蝶定理的证明这个很多人还不知道,那么小小来为大家解答以上的问题,现在让我带着大家一起来看看!1...

大家好,小小发现蝴蝶定理的证明过程,蝴蝶定理的证明这个很多人还不知道,那么小小来为大家解答以上的问题,现在让我带着大家一起来看看!

1、蝴蝶定理:在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K,则有MK=MH。

2、 已知:在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K。

3、求证:MK=MH。

4、蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上,由于其几何图形形象奇特,酷似蝴蝶,因此而得名。

5、历史上出现过许多优美奇特的解法,其中最早的应首推霍纳所给出的非初等的证法。

6、至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学数学教师斯特温首先提出的,他给出的是面积法的证明。

7、思路1:如图8-30甲所示,构造△MFH的全等△MGK;从四点共圆开始,再用四点共圆来证明∠MFH=∠MGK是关键;证明1:过F作FG‖AB交⊙O于G,连接MG、KG、DG。

8、则∠AMF=∠MFG;∠BMG=∠MGF(平行线性质);在△AMF和△BMG中;AM=MB;∠FAM=∠GBM;(等弧对等角)AF=BG; (等弧对等弦)∴ △AMF≌△BMG;(SAS)∴ ∠AMF=∠BMG;MF=MG;∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB;∵ E、F、G、D四点共圆;∴ ∠MFG+∠KDG=180°∴ ∠BMG+∠KDG=180°∴ M、K、D、G四点共圆;∴ ∠MDK=∠MGK;∵ ∠MDK=∠MFH;(同弧上的圆周角相等)∴ ∠MFH=∠MGK;在△MFH和△MGK中;∠FMH=∠GMK;MF=MG;∠MFH=∠MGK;∴ △MFH≌△MGK;(ASA)∴ MH=MK。

9、结论:根据圆的对称性,往左边作图也一定可以,构造△MDK的全等三角形。

10、思路2:如图8-30甲所示,根据圆的对称性,作出弦心距;从三角形相似再推导出三角形相似,由四点共圆,推导出∠MOH=∠MOK是关键;证明2:过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT,再连MO。

11、∵ AM=MB;∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°;在△FCM和△DEM中;∠CMF=∠DME;(对顶角相等);∠MFC=∠MDE;(等弧对等圆周角)∴ △FCM∽△DEM;(AA)∴ = ;∵ FS=SC=FC;DT=TE=DE;∴ = ;在△FSM和△DTM中;∠MFS=∠MDT;(等弧对等圆周角);= ;∴ △FSM∽△DTM;(SAS)∠FSM=∠DTM;∠MSH=∠MTK;∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°;O、S、H、M四点共圆;∴ ∠MSH=∠MOH;∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°;O、T、K、M四点共圆;∴ ∠MTK=∠MOK;∴ ∠MOH=∠MOK;∴ M、H、G、F四点共圆;∴ ∠MGH=∠MFH;在△MOH和△MOK中;∠MOH=∠MOK;MO=MO;∠AMO=∠BMO=90°;∴ △MOH≌△MOK;(ASA)∴ MH=MK。

12、结论:作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论。

13、该命题还有很多其他证法,不再赘述。

本文分享到此完毕,希望对您有所帮助。

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