大家好,乐天来为大家解答以下的问题，关于赫尔德不等式，赫尔德不等式的证明这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！
1、赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。
2、 如果||f ||p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。
3、如果||g||q = 0也是这样。
4、因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。
5、 如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。
6、因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。
7、 如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。
8、对于p = 1和q = ∞，情况也类似。
9、因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。
10、 分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设： 我们现在使用杨氏不等式： 对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。
11、因此： 两边积分，得： 这便证明了赫尔德不等式。
12、 在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。
13、更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得： μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。
14、||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。
本文分享完毕，希望对大家有所帮助。
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